Прикладні питання математичного моделювання
Новий сайт: https://ojs.kntu.net.ua/index.php/aqmm/issue/archive Рік заснування: 2018 ISSN: 2618-0332, 2618-0340 Свідоцтво про державну реєстрацію: серія КВ № 23529 – 13369 Р від 03.08.2018 р. DOI: 10.32782
ПОРІВНЯННЯ АЛЬТЕРНАТИВНИХ СТРАТЕГІЙ ПОЕТАПНОЇ ЗАМІНИ ОБЛАДНАННЯ: СПЕЦІАЛЬНІ ВИПАДКИ
У даній роботі розглянуті спеціальні випадки, що виникають при ров’язанні задачі поетапної заміни обладнання, яким не приділено увагу в роботах, присвячених методам її розв’язання. Вона є продовженням дослідження, проведеного в [8]. При ров’язанні поставленої задачі методом динамічного програмування іноді виникає ситуація, коли в зоні заміни знаходяться елементи, для яких більш доцільним є збереження обладнання. Можливі декілька шляхів подолання даної проблеми. Деякі з них розглянуті в [8]. Дане дослідження передбачає розширення планового періоду, що дозволяє розглянути і порівняти альтернативні стратегії оновлення. Збільшення планового періоду дозволяє розглянути можливість збереження обладнання більшого віку, якщо це приносить більший прибуток, ніж його заміна. З іншого боку зменшується ступінь довіри до показників в останніх інтервалах цього періоду, що пов'язано зі зміною кон'юнктури ринку і зменшенням достовірності довгострокових прогнозів. Застосування різних способів усунення зазначеної вище проблеми продемонстровано на абстрактному прикладі. Проведено порівняння різних стратегій оновлення, що базуються на аналізі розподілу прибутків по роках планового періоду. Розглянуто також розподіл інвестицій по роках, що істотно впливає на вибір оптимальної стратегії відновлення. Акцентовано увагу на тому, що особа, яка приймає рішення, більш схильна до вибору стратегій, які приносять більший прибуток в початкові інтервали планового періоду і вимагають більш рівномірного розподілу інвестицій. Даний приклад для простоти передбачає рівномірний розподіл обладнання за віком на початку планового періоду. Однак, наведені формули для розрахунку прибутків і інвестицій є універсальними і можуть бути використані в будь-яких практичних розрахунках. На завершення слід зазначити, що найбільш ефективними, описані підходи є при виборі оптимальних стратегій оновлення обладнання з невеликим терміном морального зношуванння. При цьому інтервал (крок) планового періоду може дорівнювати не року, а кварталу або навіть місяцю.
ВИБІРКОВИЙ АНАЛІЗ РОБОТИ 5-КУЛЬКОВОГО СПЕКТРОМЕТРА БОННЕРА
Проаналізовані дані, які отримані при створенні кулькового нейтронного спектрометра Боннера активаційного типу, що містить 5 поліетиленованих кульок. У якості активованого матеріалу використовувався індій. Здійснено вимірювання, в яких пучок електронів із енергією Е=12 МеВ перетворювався в 100-мікронному танталовому (е, g)-конверторі на g-випромінювання, яке потрапляло на свинцовий (g, n)-конвертор. Нейтрони з конвертора потрапляли на кульки спектрометра, в кожному з них отеплялася неоднакова їх частина, і тому активація індієвих таблеток була різною. Після опромінювання на прискорювачі з кульок вилучалися індикаторні таблетки і розміщувалися в g-спектрометрі, де визначався ступінь активації таблеток. Таким чином, результатом вимірювань є 5 чисел, які характеризують активацію таблетки з 5 кульок. Передбачаючи деяку функцію F(E, aj), яка може описати спектр нейтронів і залежить від декількох параметрів aj, і, маючи функцію відгуку i-ої кульки fi(E), активація може бути представлена як згортка функцій F(E, aj) та fi(E). Запропоновано модель математичної обробки даних вимірювань наведеної в індії радіоактивності. Побудовано модель, яка заснована на мінімізації функціонала якості та нелінійних регресійних рівнянь. За допомогою стохастичного рекурентного алгоритму розв’язана задача відновлення спектра нейтронів. Для використаної чотирьохпараметричної моделі спектра типу розподілу Максвелла отримано оцінки його параметрів, а також оцінки похибок оцінок параметрів.
ГЛОБАЛЬНА ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ТОЧКОВИМ ПОЛІНОМОМ ГЕОМЕТРИЧНОЇ КОМПОЗИЦІЇ ІЗ ТРЬОХ ТОЧОК, СЕРЕД ЯКИХ Є ДВОКРАТНА
У статті показано послідовність виконання параметризації, уздовж координатної осі, вихідної дискретно поданої лінії (ДПЛ) та надано у загальному вигляді інтерполяційний точковий поліном. Розглядається можливий варіант виконання інтерполяції дискретно поданої кривої (ДПК), яку утворюють три точки, які перетворилися у трикратну точку та надаються значення параметрів щодо цього варіанту. Вказується на те, що з появою на ДПЛ кратних точок у складових елементах параметричного точкового полінома виникають невизначеності. Доведено, що усі ці невизначеності розкриваються, границями яких, у вузлових точках є нуль або одиниця. Вказується на те, що з появою на ДПЛ кратних точок у складових елементах параметричного полінома Лагранжа виникають невизначеності. Доведено, що усі ці невизначеності розкриваються, границями яких, у вузлових точках є нуль або одиниця. Показано, що невизначеності, які виникають з появою кратних точок на ДПЛ, не є перешкодою для глобальної інтерполяції із застосуванням параметричного точкового полінома. Тобто, для будь-якої композиції з трьох точок, побудова та структура запису параметричного точкового полінома лишається без змін. При цьому, ніяких обмежень на створення композиції з трьох точок не існує. Доведено, що усі ці невизначеності розкриваються, границями яких, у вузлових точках є нуль або одиниця. Показано, що невизначеності, які виникають з появою кратних точок на ДПЛ, не є перешкодою для глобальної інтерполяції із застосуванням параметричного полінома за формою Лагранжа. Цей факт доведено у даній статті. Надано композиційну числову матрицю, у відповідності до якої відбувається обумовлена інтерполяція. Елементами цієї композиційної матриці є значення характеристичних функцій інтерполянта у вузлових точках. Показано, що елементи композиційної матриці інтерполяції не змінюються за наявності будь-якої геометричної композиції з трьох точок. Може змінюватись лише статус цих елементів. В одному випадку їх значення є точними, а у іншому – вони можуть бути границею, до якої прямує значення характеристичної функції інтерполяційного точкового параметричного полінома.
ДЕЯКІ АСПЕКТИ КОМП’ЮТЕРНОГО ГЕОМЕТРИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ З ВИКОРИСТАННЯМ КРИВИХ БЕЗЬЄ
На сьогоднішній день комп’ютерні інформаційні технології відіграють важливу роль у багатьох сферах життя нашого суспільства. Це стосується таких галузей діяльності як промисловість, сільське господарство, наука, освіта, медицина, культура та інших. Нині окреслені напрямки неможливо уявити без інтенсивного застосування комп’ютерної графіки, базовим компонентом якої є геометричне моделювання. Тому його подальший розвиток становить актуальну науково-прикладну проблему. Широка популярність графічних комп’ютерних пристроїв і відповідного програмного забезпечення обумовлена простотою, зручністю та наочністю їх використання. Основу сучасних засобів векторного геометричного моделювання становлять належні параметричні лінії, зокрема, криві Безьє різних степенів, серед яких найбільш розповсюджені кубічні лінії. Це пов’язано з їх достатньою гнучкістю, прогнозованим характером формоутворення та ефективністю комп’ютерної реалізації. Однак у певних випадках виникає необхідність застосування кривих Безьє й інших степенів, як нижчих, так і вищих. Зазначений факт потребує опрацювання та покращення відповідного математичного апарату. Статтю присвячено вдосконаленню комп’ютерного обчислення площ криволінійних трапецій, обмежених лініями Безьє, поліпшенню належних математичних і комп’ютерних програмних засобів. Такі задачі постійно виникають, зокрема, під час варіантних ітераційних оптимізаційних інженерних розрахунків різноманітних технічних конструкцій на міцність у зв’язку з параметричними обчисленнями площ поперечних перерізів силових елементів тощо. У дослідженні докладно розглянуто запропонований математичний апарат, акцентовано його переваги порівняно з існуючими методами, наведено відповідні приклади. Подані матеріали можуть бути успішно впроваджені у практику з метою покращення багатьох засобів геометричного моделювання сучасної комп’ютерної графіки.
ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДУ ТЕОРІЇ ЗБУРЕНЬ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІЧНИХ РІВНЯНЬ МІЖГАЛУЗЕВОГО БАЛАНСУ
Економічна система охоплює параметри і характеристики суспільного виробництва, розподілу, обміну та споживання матеріальних благ. В економічній системі вибір і формування як структури, так і способу функціонування є задачами управління, що забезпечують динаміку соціально-економічного розвитку. У структурі системи управління можна виділити: об'єкт управління – це безпосередній пристрій, агрегат, підсистема загальної системи, в якій реалізується мета функціонування всієї системи; управляюча система – представляє собою орган управління (суб'єкт управління), що фіксує параметри об'єкта управління і виробляє керуючі впливи на об'єкт управління; обернений зв'язок – це об'єкт, підсистема, за допомогою якої реалізується вплив управляючої системи на керований об'єкт. Ці елементи разом утворюють замкнену систему управління. Задачі управління економічною системою погано структуровані, і не завжди модель може бути побудована однозначним способом. Це означає, що цілі функціонування багатьох економічних систем не завжди можуть бути чітко сформульовані. Задача управління такою системою полягає в тому, щоб прийняти найкраще рішення для цієї системи. Одним з ефективних методів дослідження економічної динаміки як в теоретичному, так і в прикладному аспекті є динамічні моделі витрати-випуск (моделі міжгалузевого балансу). Математичні залежності між величиною капітальних вкладень і приростом продукції є основою побудови різних варіантів динамічних моделей міжгалузевого балансу. Відмінною рисою динамічних моделей міжгалузевого балансу є виділення виробничих капіталовкладень (інвестицій) зі складу кінцевої продукції і вивчення їх впливу на зростання обсягу виробництва. В роботі складається та аналізується нелінійний варіант динамічної моделі Леонтьєва, розглядається можливість дослідження динамічних рівнянь міжгалузевого балансу при виникненні збурень в елементах матриць прямих матеріальних затрат та внутрішніх інвестицій. За результатами дослідження зроблені висновки про вплив збурень на матриці внутрішніх інвестицій і матеріальних витрат.
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ВОДОРОДНОГО КАТАЛІЗУ У БІОЛОГІЧНИХ СИСТЕМАХ
Робота присвячена викладенню математичної моделі і результатів чисельних розрахунків по тунелюванню хвильової функції в двох’ямному потенціалі. Запропоновано і використано біквадратичний потенціал двох’ямного виду. Ціллю роботи було дослідження явища тунелювання квантово-механічних частинок в тому випадку, коли висота бар'єру між ямами значно перевершує початкову енергію частинок. На основі математичної моделі хвильової функції створено чисельний алгоритм і побудована програма розв’язку рівняння Шредингера, що описує часову еволюцію хвильової функції частинки. Фізична задача базується на включенні в потенціал часової залежності стохастичного та синусоїдального виду, що містить частоту і індекс модуляції. Таким чином, реалізується випадок параметричної накачки квантової системи – частки у нестаціонарному потенціалі. В результаті чисельних експериментів отримано режими модуляції, при яких має місце тунелювання. Проведена перевірка відсутності тунелювання в режимі, коли відключено модуляцію обох типів. Для різних випадків частотної модуляції були наведені результати чисельного моделювання процесу тунелювання. Показана можливість регулювання ефективності тунелювання шляхом вибору частоти модуляції. Показано також, що включення в модуляцію потенціалу гармонічного шуму типу стохастичного процесу Орнштейна-Уленбека приводить до збільшення швидкості тунелювання. Шляхом направленої зміни параметрів модуляції можливо регулювати швидкість тунелювання хвильової функції частинки.
ВИЗНАЧЕННЯ ДИНАМІЧНИХ ПАРАМЕТРІВ ОБ’ЄКТІВ УПРАВЛІННЯ У РЕЖИМІ РЕАЛЬНОГО ЧАСУ ЗА ДОПОМОГОЮ ГРАФОАНАЛІТИЧНИХ МЕТОДІВ ІДЕНТИФІКАЦІЇ
У статті досліджено можливість застосування сучасних апаратних і програмних засобів для автоматизації традиційних способів ідентифікації, з можливістю отримувати значення параметрів об’єктів управління у реальному часі. Проаналізовано відомі графоаналітичні способи ідентифікації об’єктів управління та доведено недоцільність їх використання при ідентифікації у режимі реального часу через необхідність ручного введення експериментальних даних. Для визначення динамічних параметрів типових лінійних об’єктів систем автоматичного управління запропоновано використовувати швидкість зміни вихідного сигналу досліджуваного об’єкту. Доведено, що застосування програмних пакетів Mathcad, Matlab дозволяє безпосередньо вираховувати швидкість зміни вихідного сигналу об’єкта управління, що значно скорочує час обробки даних, а використання пакету Matlab, завдяки вбудованому ОРС серверу, дозволяє обробляти у реальному часі дані процесу, що надходять з датчиків або контролерів по цифровій мережі. Наведено структурну схему системи для дослідження запропонованого способу визначення динамічних характеристик об’єкта управління та блок-схема алгоритму обчислення динамічних параметрів об’єкта управління. Наведено приклад ідентифікації об’єкта управління першого порядку з використанням швидкості зміни вихідного сигналу. Експериментально визначені значення регульованого параметру (температура) зафіксовані датчиком, підключеним до аналогового входу контролера Овен ПЛК63. Дані з контролера по мережі Modbus передавалися через універсальний ОРС-сервер Master OPC на персональний комп’ютер. У якості ОРС-клієнта було використано середовище Matlab, де проводилися розрахунки параметрів динаміки досліджуваного об’єкта. Доведено, що запропонований спосіб дозволяє значно підвищити ефективність відомих графоаналітичних методів ідентифікації. З’ясовано, що шуми, присутні у сигналах датчиків можуть суттєво вплинути на точність визначення параметрів об’єкта управління, тому для зменшення впливу цих шумів необхідно застосовувати фільтри нижніх частот.
КВАЗІ-PHI -ФУНКЦІЇ ДЛЯ АНАЛІТИЧНОГО ОПИСУ УМОВ НЕПЕРИТИНАННЯ СКЛАДЕНИХ ОБ’ЄКТІВ В ЗАДАЧАХ РОЗМІЩЕННЯ ТА МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ ПОТОКІВ ЛЮДЕЙ
Задачі оптимального розміщення об’єктів є предметом дослідження обчислювальної геометрії, а методи їх розв’язання – напрямком теорії дослідження операцій. До задач розміщення відносяться задачі упаковки та розкрою, які мають широкий спектр наукових і практичних застосувань у порошковій металургії, гірничодобувній промисловості для моделювання руху сипучих речовин, аналізі структур рідин та скла, задачах логістики для моделювання оптимальних упаковок вантажів, в задачах моделювання індивідуально-поточного руху людей при їх евакуації з будівель, тощо. З точки зору методів моделювання, вищенаведені класи прикладних задач належать до класу задач геометричного проектування зі специфічною системою обмежень, яка пов’язана з їх геометричними властивостями. Цей клас задач відноситься до класу NP-складних, для розв’язання яких застосовуються, як правило, евристичні алгоритми. Для розробки ефективних алгоритмів, що засновані на методах локальної та глобальної оптимізації, виникає необхідність в побудові адекватних математичних моделей на базі аналітичного представлення умов неперетинання об’єктів з урахуванням їх неперервних трансляцій та обертань. Одною із актуальних задач в теперішній час є задача моделювання руху потоку людей, яку, в кожний момент часу, можна розглядати, як розміщення людей за заданими обмеженнями. Результати аналізу показують відсутність моделі індивідуально-поточного руху людей, що адекватна реальному потоку. При русі людей в потоці спостерігаються наступні категорії руху: комфортний, спокійний, активний, підвищеної активності. Коли категорія руху переходить в категорію активного руху з можливими силовими діями, щільність потоку збільшується, що призводить до природних деформацій тіла людини В роботі запропонована модель тіла людини з урахуванням її природних деформацій, як трикомпонентна модель, яка являє собою об’єднання трьох нежорстко пов’язаних еліпсів, основний із яких обертається неперервно в рамках кута маневреності відносно основного напрямку руху, а допоміжні можуть обертатися в допустимих межах відносно основного. Для аналітичного опису умов неперетинання трикомпонентних об’єктів запропонована модифікація квазі-phi-функцій складених об’єктів, яка є основою алгоритмів моделювання поточного активного руху людей та упаковки розглянутого класу об’єктів.
ТРАЄКТОРІЇ ТОЧОК ПЛОСКОЇ ФІГУРИ, КРИВОЛІНІЙНИЙ КОНТУР ЯКОЇ КОТИТЬСЯ БЕЗ КОВЗАННЯ ПО ПРЯМІЙ ЛІНІЇ
Розглянуто плоско-паралельний рух фігури, обмеженої криволінійним контуром. Фігура котиться без ковзання по прямій лінії. Розроблено аналітичний опис знаходження траєкторії точки, яка жорстко закріплена на фігурі, або ж здійснює в рухомій системі фігури заданий відносний рух. Наведено параметричні рівняння абсолютної траєкторії точки. Розглянуто конкретні приклади для плоскої фігури, обмеженої параболою. Показано, що траєкторією фокуса параболи, яка котиться по прямій лінії, є ланцюгова лінія. Зроблено перевірку для кола і отримано відому криву – циклоїду, а також її варіанти – подовжену і укорочену циклоїди. Розглянуто випадок, коли криволінійним контуром плоскої фігури є крива, задана натуральним рівнянням. Виведено узагальнені параметричні рівняння абсолютної траєкторії точки, яка здійснює відносне переміщення в рухомій системі координат, жорстко зв’язаної із плоскою фігурою.
ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРСПЕКТИВ ВИКОРИСТАННЯ ТА ПРИНЦИПІВ ПОБУДОВИ МУЛЬТИАГЕНТНОЇ ПОШУКОВОЇ СИСТЕМИ
У роботі досліджено принципи функціонування систем інформаційного пошуку та, зокрема, мультиагентної пошукової системи. Відповідно, проаналізовано ряд наукових досліджень у сфері інформаційного пошуку. В ході дослідження встановлено перспективність використання мультиагентності стосовно вдосконалення пошукових методів та, зокрема, при побудові систем інформаційного пошуку. Були визначені переваги побудови розподіленої мультиагентної пошукової системи в порівнянні з централізованими системами пошуку. Також наголошено, що організація мультиагентного пошуку дозволяє об’єднати в собі різні підходи до вирішення завдання інтелектуалізації та персоналізації пошукової видачі.
ПЕРЕТВОРЕННЯ МАСИВУ ДАНИХ ЦИЛІНДРИЧНОГО МАГНІТНОГО ПОЛЯ МАГНЕТРОННОЇ ГАРМАТИ ТА ЗАДАЧА РАДІАЛЬНОГО РУХУ ЕЛЕКТРОНІВ
Представлені результати досліджень щодо формування радіального електронного пучка в магнетронної гарматі з вторинноемісійним катодом. Ціллю роботи було створення математичної моделі формування радіального електронного пучка з енергією в десятки кеВ у магнітному полі соленоїда, дослідження залежності характеристик струму від амплітуди та розподілу магнітного поля вдовж осі системи, вивчення можливості опромінювання поверхні трубчастих виробів. У роботі на основі гамільтонового формалізму руху електронів у магнітному полі синтезовано програмний засіб, який дозволяє провести чисельне моделювання динаміки трубчастих електронних потоків у спадаючому магнітному полі соленоїда. На основі методу найменших квадратів побудований і реалізований алгоритм перетворення масиву значень магнітного поля вдовж осі транспортування частин в аналітичну диференціюєму функцію. Синтезована функція та її похідна використана при моделюванні руху електронів у магнітному полі магнетронної гармати. Приведено результати чисельного моделювання руху трубчастого електронного потоку. Вивчено формування розподілу електронів при їх транспортуванні в повздовжньому спадаючому магнітному полі соленоїда. Приводяться також експериментальні дані стосовно опромінювання пучком електронів металічних мішеней в камері гармати. Отримані результати моделювання узгоджуються з даними експериментів.
ВИБІР МЕТОДУ ІНТЕРПОЛЯЦІЇ ГРАНИЧНИХ ТРАЄКТОРІЙ КОРОТКОФОКУСНИХ ЕЛЕКТРОННИХ ПУЧКІВ ЗА УМОВИ ЇХНЬОГО ТРАНСПОРТУВАННЯ В ІОНІЗОВАНОМУ ГАЗІ
У статті проведений порівняльний аналіз методів інтерполяції залежності радіуса короткофокусного електронного пучка від положення площини зрізу за повздовжньою координатою по трьом базовим точкам. Інтерполяція проводиться на основі отриманих даних чисельного моделювання. Показано, що головна особливість аналітичних функцій, які описують такі залежності, полягає у тому, що вони мають один глобальний мінімум, а за межами області мінімуму характер цих залежностей є близьким до лінійного. Розглядаються два можливих методи інтерполяції таких залежностей. Перший з цих методів полягає у тому, що в області фокуса пучка використовується параболічна інтерполяція, а за межами цієї області функція має лінійний характер. Для описання таких залежностей використовується апарат математичної логіки та арифметико-логічні вирази. Недолік такого описання граничних траєкторій електронних пучків за умови їх проведення в іонізованому газі полягає у тому, що важко знайти таку базову точку, у якій необхідно здійснювати перехід від лінійної залежності до параболічної. Другий метод інтерполяції базується на використанні класу спеціальних функцій, якими є корені степені n з поліномів тієї ж самої степені. З використанням методів комп’ютерного моделювання показано, що поведінка таких функцій цілком відповідає яружним залежностям, які описують траєкторії короткофокусних електронних пучків за умови їхнього транспортування в іонізованому газі. Показано, що у разі використання таких функцій інтерполяції розбіжність між результатами чисельного моделювання, які інтерполюються, та значеннями функції інтерполяції, не перевищує кількох відсотків, а для більшості випадків складає частку відсотка. Тобто, на основі тестових комп’ютерних експериментів обґрунтовано, що використання як функцій інтерполяції коренів степені n з поліномів тієї ж самої степені є ефективним інструментом для описання граничних траєкторій короткофокусних електронних пучків в іонізованому газі. Отримані в статті результати мають важливе практичне значення для визначення фокальних параметрів короткофокусних електронних пучків, які формуються джерелами електронів на основі високовольтного тліючого розряду.
АЛГОРИТМИ ШТУЧНОГО ІНТЕЛЕКТУ ДЛЯ ПОШУКУ ІНФОРМАЦІЇ В СИСТЕМАХ ДИСТАНЦІЙНОГО НАВЧАННЯ
Належний пошук відіграє велику роль в умовах інформаційної насиченості. З кожним днем в пошукових системах індексується все більше інформації, а тому і зростає кількість інформаційного сміття. Для пошуку інформації в мережі інтернет все більш актуальним являється використання алгоритмів штучного інтелекту для видачі більш точного результату та відсіювання зайвої інформації для пошукового запиту. В роботі було досліджено методи і алгоритми штучного інтелекту, які використовуються для пошуку інформації. Для пошуку наукової і навчальної інформації в системі дистанційного навчання було обрано алгоритми колоборативної фільтрації, класифікації та задачі пошуку асоціативних правил. Алгоритми було модифіковано і використано для пошуку матеріалу, враховуючи інтереси користувача. Було розширено базу даних дистанційної системи, створено таблиці: історія пошукових запитів, унікальних пошукових запитів (без повторень), ключових слів, зв’язок ключових слів з унікальним пошуковим запитом, зв’язок користувача з ключовими словами. Таблиці дали можливість організувати інтелектуальний пошук за заданим критерієм. В статті наведено алгоритм для зберігання ключових слів та зв’язку ключових слів з пошуковим запитом та з користувачем. Завдяки цьому алгоритму, якщо виконується пошук по заданому критерію, при повторному пошуку з’являється список ключових слів, схожих за змістом на заданий критерій, які були в переглянутих матеріалах. Цей список формується з ключових слів до статті, яка зацікавила користувача, таким чином можна виявити пріоритети, які є у користувача при пошуку наукової і навчальної інформації. При необхідності можна скористатися ключовим словом для пошуку. Користувач може зберігати посилання на той чи інший ресурс, якщо вони були корисними. Ці посилання пропонуються іншому користувачу, який шукає таку саму інформацію. За рахунок використання алгоритму штучного інтелекту при розширенні пошуковому модулі, пошукова система значно розширила можливості пошуку. Пошукова система враховує інтереси кожного користувача і є частиною системи дистанційного навчання. Користувачі отримали можливість зручного і швидкого пошуку наукової і навчальної інформації.
ГРУПА СИМЕТРІЇ ОРНАМЕНТУ НА ЕСКІЗІ М. К. ЕШЕРА «ЯЩІРКИ» І РУХИ ПЛОЩИНІ, ЩО ОПИСУЮТЬ УТВОРЕННЯ ЙОГО ФІГУРНОЇ ПЛИТКИ
Способи побудови фігурних плиток, що стилізують зображення тварин і рослин і цілком заповнюють площину, не є на даний час предметом наукових досліджень. Це пояснюється тим, що автори багатьох наукових праць розглядають гравюри М. К. Ешера як мозаїку, складену з багатокутників з нанесеним на них малюнком, що повторюється. Тому вони шукають в них фрагменти, які вписуються в ромби, квадрати, правильні трикутники або правильні шестикутники, і за їх допомогою складають мозаїку. Ми ж пішли іншим шляхом - шляхом відкриття законів симетрії, що дозволяють побудувати плоску фігуру, що стилізує образи рослин і тварин і заповнює площину без накладень і пропусків. Таким чином, мета статті полягає в тому, щоб встановити правило побудови фігури, що стилізує зображення тварин і рослин і заповнює площину без накладень і пропусків при паралельних перенесеннях і обертаннях її повторень. Запропоновано правило побудови фігурних плиток, що стилізують зображення рослин і тварин і заповнюють площину без накладень і пропусків при паралельних перенесеннях і обертаннях її повторень, зокрема фігурних плиток, що узагальнюють зображення зооморфних форм на ескізах М. К. Ешера «Ящірки» і «Метелики». Запропоноване правило було застосовано для складання орнаментів, що стилізують ескізи М. К. Ешера «Ящірки» і «Метелики». Показано, що дані орнаменти мають множину осей симетрії 3-го порядку, множину осей симетрії 6-го порядку і шість векторів трансляції. Виявлено зв’язок між рухами площини, що приводять до утворення фігурної плитки, і групою симетрії орнаменту, отриманого на її основі. Встановлено, що симетрія орнаменту і його фігура, що повторюється, описуються групами обертання 6-го порядку і групами паралельних перенесень осей обертання. Отже, якщо якій-небудь фігурі відповідає будь-яка група перетворень площини, тоді такій же групі перетворень площини відповідатиме орнамент, отриманий паралельними переносами і обертаннями її повторень. Розроблено орнамент «Композиція № 1», не описаний в літературі з історії та теорії орнаменту. Передбачено, що предметом подальших досліджень буде застосування однієї з кристалографічних груп симетрії Є. С. Федорова до побудови фігурної плитки, що стилізує зооморфну форму на одній з гравюр М. К. Ешера.
Дослідження присвячене розробці системи аналізу текстових потоків даних. В постановці завдання наведено проблему обробки потоків текстової інформації та відзначається відсутність програмних засобів одночасної обробки потоків текстових даних українською та російською мовами. Проведено аналіз останніх досліджень та встановлено, що для обробки потоків даних необхідно застосовувати спеціалізоване програмне забезпечення обробки потокових даних. Виявлено, що існує вкрай мало засобів для обробки україномовних текстів, а також те, що не існує засобів для одночасної підтримки україномовних та російськомовних текстів. Метою даного дослідження є розробка архітектури та реалізація програмного забезпечення системи аналізу текстових потоків даних. Наведено опис математичної моделі потоку текстових даних на основі ковзного вікна. Наведено завдання для обробки потоків текстових даних від базових перетворень тексту та попередньої обробки до інтелектуального аналізу текстових потоків даних. Сформульовано математичну постановку завдання визначення емоційного забарвлення потоків текстових даних на основі моделі ковзного вікна. В процесі дослідження виділено 4 підсистеми: підсистему збору та транспортування повідомлень потоків даних, підсистему аналізу текстових потоків, підсистему зберігання результатів аналізу потоків даних та підсистему візуалізації. Особливістю системи є підтримка обробки україномовних текстів, для чого було спеціально розроблено програмну бібліотеку UANLP. Дана бібліотека дозволяє також оброблювати російськомовні тексти. Обробка потоків текстових даних виконується на основі компоненту Spark Streaming, що підтримує роботу з вікнами. Бібліотека Spark MLib та ML дозволяють використовувати засоби машинного навчання для аналітичної обробки потоків текстових даних, на основі яких виконується сентимент аналіз, виявлення аномалій, елементів пропаганди, дезінформації тощо. Обґрунтовано використання програмних компонент - сервісу повідомлень Kafka, технології розподіленої обробки даних Apache Spark, бази даних Elasticsearch та сервісу візуалізації Kibana. Описано процес обробки даних від генерації потоків даних до візуалізації результатів аналізу.
НАБЛИЖЕННЯ РОЗРИВНОЇ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ РОЗРИВНИМИ ІНТЕРЛІНАЦІЙНИМИ СПЛАЙНАМИ З ВИКОРИСТАННЯМ ТРИКУТНИХ ЕЛЕМЕНТІВ
Робота присвячена розробці методу наближення розривних функцій за допомогою оператора інтерлінації функцій двох змінних. Ці оператори відновлюють функції (можливо, наближено) за відомими їх слідами на заданій системі ліній. Саме такі експериментальні дані використовуються в дистанційних методах, зокрема в комп’ютерній томографії. Тобто вони надають можливість будувати оператори, інтеграли від яких по вказаних лініях (лінійні інтеграли) будуть дорівнювати інтегралам від самої відновлюваної функції. Отже, інтерлінація – математичний апарат, природно пов’язаний із задачею відновлення характеристик об’єктів за їх відомими проекціями. Існує багато практично важливих наукових та технічних галузей, в яких об’єкти дослідження математично описуються величинами, що зазнають розрив. Такі об’єкти часто виникають також і в задачах, які використовують дистанційні методи. На сьогоднішній день не існує загальної теорії описів явищ та процесів, що описуються розривними функціями. В статті будуються та досліджуються оператори розривної інтерлінації для наближення розривних функцій двох змінних за відомими її слідами (проекціями) на системі ліній з використанням довільних трикутних елементів. На основі створених сплайн-інтерлінантів будується метод наближення функцій, які мають розриви першого роду та область визначення яких розбивається на трикутні елементи. Причому побудовані розривні конструкції включають в себе, як окремий випадок, класичні неперервні інтерлінаційні сплани. В якості експериментальних даних виступають односторонні сліди функції на системі заданих ліній, саме такі дані використовуються в томографії. В роботі наведені теореми про інтерлінаційні властивості та похибку побудованих розривних конструкцій. Побудований метод наближення дозволяє наблизити розривну функцію, уникаючи явища Гіббса. Розглянуто приклади, які підтверджують ефективність запропонованого методу. Запропонований метод наближення розривних функцій можна буде використати для математичного моделювання розривних процесів в медичних, геологічних, космічних та інших дослідженнях.
АНАЛІЗ ЧАСОВИХ ПОСЛІДОВНИХ ПОТОКІВ ДАНИХ МЕРЕЖЕВОГО ТРАФІКУ НА ОСНОВІ ВЕЙВЛЕТ-ПЕРЕТВОРЕННЯ
В даний час для вивчення властивостей в мережевих системах і їх процесів широко застосовується підходи, засновані на аналізі їх вихідних сигналів. Тому аналіз систем і процесів, особливо при експериментальних дослідженнях, часто реалізується за допомогою обробки реєстрованих сигналів. Майже в кожній предметній області існують явища, які необхідно вивчати в їх динаміці, а сукупність реєстрованих сигналів подібного роду за певний період часу і є часові послідовності потоків даних. Для аналізу часових послідовностей, які є стаціонарними або нестаціонарними випадковими процесами, використовують традиційні методи статистичного аналізу випадкових величин і функцій. Найбільш поширеними з них є кореляційний і спектральний аналізи, згладжування і фільтрація даних, моделі авторегресії і прогнозування. Поряд з традиційними методами, в останні роки набувають поширення способи обробки сигналів, засновані на вейвлет-перетворенні. Особливість цієї технології в тому, що вона дозволяє розкрити особливості локальної структури складного сигналу і виявити різні його властивості, невидимі в режимі реального часу. В області вейвлет-перетворення виділяється додаткова інформація за допомогою подання до частотно-часового зображення сигналу, недоступного в початковому вигляді. На сьогоднішній момент часу посилюються вимоги до якіснішого виявлення внутрішніх закономірностей в поведінці часових послідовностей і прогнозом періодів стійкості досліджуваних процесів. Тому виникає необхідність в розробці нових і модифікації існуючих алгоритмів аналізу часових послідовностей в мережевих системах. У даній роботі досліджено застосування вейвлет-перетворення для виявлення вторгнень в комп’ютерні мережі. Пропонується аналіз останніх досліджень по даній задачі, де розглянуті вже існуючі алгоритми та методи виявлення атак за допомогою вейвлет-перетворення. Важливим пунктом у цій роботі є обґрунтування застосування вейвлет–функції та алгоритму вейвлет-перетворення для аналізу часових послідовних потоків даних мережевого трафіку. З використанням вейвлет-функції пропонується усунення шуму з мережевого трафіку та з використанням пакетного вейвлет-перетворення для аналізу мережевого трафіку і отримання інформації про можливі атаки. Використання вейвлет-функції має важливий характер, бо вибір оптимального вейвлет-базису дозволить підняти ймовірність виявлення як на початковому етапі, так і при реконструкції сигналу.
ДО ПИТАННЯ РОЗРОБЛЕННЯ МЕТОДИК ТА АЛГОРИТМІВ СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ БУДІВЕЛЬНИХ ОБ’ЄКТІВ
Нині у процесах архітектурно-будівельного проектування широко застосовуються комп’ютерні інформаційні технології, що реалізовані за допомогою CAD/CAM/CAE (Computer Aided Design / Computer Aided Manufacturing / Computer Aided Engineering) систем, таких як ArchiCAD, Allplan, Revit, САПФІР, ЛІРА-САПР і т. д. Зазначені засоби отримали узагальнену назву BIM (Building Information Modeling), що означає будівельне інформаційне моделювання. Одну з базових його складових становить комп’ютерна графіка, реалізована на основі параметричного геометричного моделювання, перспективним подальшим розвитком якого є структурно-параметричне формоутворення. Тому вдосконалення відповідних методів, способів, прийомів та алгоритмів вважається важливою науково-технічною проблемою. BIM-технології суттєвим чином сприяють підвищенню продуктивності праці, якості результатів роботи багатьох будівельних проектних організацій. У публікації виконано аналіз теперішнього стану належних автоматизованих систем із метою врахування наявних вимог користувачів стосовно комп’ютерного формоутворення, визначено деякі актуальні задачі його покращення. Запропоновані нові алгоритми спрямовані на вирішення окреслених питань, поліпшення обчислювальної ефективності програмних засобів, забезпечення проведення оптимізації отримуваних інженерних розв’язків у певних техніко-економічних аспектах. Напрацьований математичний апарат характеризується універсальністю, тобто незалежністю від змісту конкретних виробничих завдань. У дослідженні подано відповідні приклади використання. Відкритість сучасних комп’ютерних інформаційних систем дозволяє користувачам створювати свої власні програмні додатки, які ефективно вирішують спеціалізовані задачі. Це забезпечує гнучку адаптацію існуючих автоматизованих систем архітектурно-будівельного проектування до вимог практики. Тому питання розроблення нових продуктивних алгоритмів комп’ютерного структурно-параметричного моделювання є доволі актуальним. У статті визначено деякі напрямки подальших наукових розвідок розглянутого плану.
МОДЕЛЬ ТА МЕТОД ЗНАХОДЖЕННЯ ОПОРНОГО ТА ОПТИМАЛЬНИХ ПЛАНІВ МОДИФІКОВАНОЇ ТРАНСПОРТНОЇ ЗАДАЧІ У ВИПАДКУ ГРУПУВАННЯ ПОСТАЧАЛЬНИКІВ ВАНТАЖУ
В даній роботі запропоновано модель спеціального типу транспортної задачі, на умови якої додається обмеження за вивезенням вантажу із груп постачальників, що закріплені за відповідними постачальниками більш високого порядку, які мають власні обмеження запасів вантажу. Це додаткове обмеження дійсно зустрічається в практиці вантажних перевезень, оскільки постачальники, як правило, в свою чергу отримують вантаж від заводів, місць видобування природних ресурсів, оптових складів та інше. Для зазначеної моделі розроблено модифіковані методи знаходження опорного та оптимального планів вантажних перевезень з метою мінімізації вартості перевезень в заданих обмеженнях.
ЗАГАЛЬНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ПОЗДОВЖНІХ КОЛИВАНЬ СТРИЖНЯ
Моделювання коливних процесів пов’язане з диференціальними рівняннями другого порядку в частинних похідних (загальні крайові задачі). Поздовжні коливання стрижнів є коливними процесами для вивчення яких застосовуються дискретно-неперервні математичні моделі, основою яких є загальні крайові задачі. Методи розв’язування нестаціонарних крайових задач можна поділити на прямі, основу яких становить метод відокремлення змінних, метод джерел (метод функції Ґріна), метод інтегральних перетворень, наближені та числові методи. У багатьох випадках отримати розв’язки таких задач в замкнутому вигляді викликає великі труднощі. Уникнути труднощів можна зведенням вказаних задач до квазідиференціальних рівнянь, аналітичні розв’язки яких порівняно легше можна отримати із застосуванням матричного числення. Обґрунтування існування та побудова точних аналітичних розв’язків квазідиференціальних рівнянь, розробка програм для наближених обчислень власних значень та власних функцій є актуальними завданнями. Запропонована в даній роботі схема побудови розв’язку належить до прямих методів розв’язування крайових задач. В роботі розглянуто загальні крайові задачі для поздовжніх коливань стрижня, який складається з двох частин кусково-сталого перерізу та навантаженням в правій частині. Розглянуто п’ять різних випадків крайових умов. Знайдено розв’язки таких задач з використанням концепції квазіпохідних, сучасної теорії систем лінійних диференціальних рівнянь, класичного методу Фур’є та методу редукції. Концепція квазіпохідних дозволяє обходити проблему множення узагальнених функцій, які виникають в правій частинні рівняння залежно від виду навантаження. За допомогою методу редукції розв’язування задачі зводиться до знаходження розв’язків двох задач. Одна задача є стаціонарною неоднорідною крайовою задачею з вихідними крайовими умовами. Друга задача є мішаною задачею з нульовими крайовими умовами для певного неоднорідного рівняння. Проміжок інтегрування розбивається на відрізки. Задачі розглядаються на кожному відрізку розбиття, а потім за допомогою матричного числення записується аналітичний вираз розв’язку. Такий підхід дозволяє застосовувати програмні засоби до процесу розв’язування задачі, зокрема для знаходження власних значень та власних функцій.
ПРАВИЛА РОЗГОРТАННЯ ЗНАКОВИХ КОМБІНАТОРНИХ ПРОСТОРІВ
Знакові комбінаторні простори існують в двох станах: спокої (згорнутому), який задається знаком, та динаміці (розгорнутому), який розгортається зі згорнутого. Точками цих просторів є комбінаторні конфігурації різних типів. В основі їхньої побудови лежать правила утворення та впорядкування цих об’єктів. Останні формуються з елементів заданої базової множини трьома рекурентними комбінаторними операторами, а упорядковуються за правилами, в яких використано властивість періодичності. Знаковий згорнутий комбінаторний простір задається інформаційним знаком, який містить базову множину, його тип і правила утворення з елементів базової множини точок розгорнутого простору. У природі існує скінченне число множин комбінаторних конфігурацій одного і того ж типу, кожна з яких може бути впорядкована різними способами як строго, так і хаотично. Як показав аналіз цих множин, багато з них упорядковуються одними і тими самими строгими процедурами, тобто існують закономірності їхнього генерування. Однією з них є властивість періодичності, яка випливає з рекурентного способу утворення та впорядкування комбінаторних конфігурацій. На основі цієї властивості розроблено рекурентно-періодичний метод, орієнтований для генерування комбінаторних конфігурацій різних типів. За допомогою цього методу упорядкування структурованих комбінаторних множин проводиться за одними і тими самими правилами, а деякі з них генеруються різними модифікаціями одного і того самого алгоритму. В статті описуються правила утворення та впорядкування структурованих комбінаторних множин, відповідно і знакових комбінаторних просторів. Уведено три рекурентні комбінаторні оператори, за допомогою яких формуються комбінаторні конфігурації. Це – транспозиція, вибирання та арифметичний оператор. Сформульовано три правила, за якими упорядковуються комбінаторні множини. Ці правила формуються на основі аналізу їхньої структури. Генерування комбінаторних множин проводиться з елементів заданої базової множини за допомогою наведених правил. Тобто, для їхнього впорядкування достатньо задати тип комбінаторної конфігурації, базову множину та правила їхнього утворення та впорядкування. Аналогічно описується і знаковий комбінаторний простір.
МОДЕЛЮВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО РОЗВИТКУ ВИРОБНИЧИХ СИСТЕМ
Стаття узагальнює аргументи та контраргументи з питання ідентифікації просторового стану виробничої системи для оцінки ефективності її функціонування та оптимізації цільових функцій при вирішенні завдань управління розвитком. Основною метою проведеного дослідження є розробка підходу до моделювання системи управління розвитком виробничого підприємства. Проблема управління розвитком виробничих підприємств засвідчила, що кожному рівню аналізу стану підприємства і оцінці динаміки його розвитку та проблемної ситуації відповідає агрегований набір оцінок, які враховують як окремі показники, так і їх різні групи. Актуальність вирішення даної наукової проблеми полягає в тому, що процес управління розвитком підприємства стає все більш слабко структурованим і випадковим, у зв’язку з чим виникає необхідність в управлінні даним процесом. Дослідження питання управління розвитком підприємств при цілеспрямованій зміні параметрів, структури і властивостей системи та збуренні зовнішнього і внутрішнього середовища вимагають використання нових моделей управління, при цьому кожна нова модель повинна бути краще ніж та, що замінюється. Запропонований підхід до моделювання системи управління розвитком виробничого підприємства та його практична реалізація дають можливість визначати домінуючі параметри розвитку виробничих підприємств і своєчасно відстежувати імпульси і простір станів виробничої системи в якості параметрів для її розвитку. Аналіз стану виробничої системи і оцінка динаміки її розвитку показують необхідність формування системи узагальнених векторно-скалярних, ситуаційно орієнтованих показників. Представлені показники виробничої системи у вигляді вектору стану вхідного та вихідного векторів можуть бути базовими для ідентифікації стану підприємства, а також можуть бути використані для оцінки ефективності його функціонування і для оптимізаційних цільових функцій при розв’язанні задач управління розвитком підприємства.
СТОХАСТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТОПОГРАФІЇ РОБОЧОЇ ПОВЕРХНІ ВИРОБІВ НА ФІНІШНИХ ОПЕРАЦІЯХ
В роботі пропонується удосконалити модель динаміки шліфування, в рамках якої кожне абразивне зерно розглядається як окрема ріжуча кромка з випадковими характеристиками форми та розташування на поверхні шліфувального кругу Точність форми поверхні, одержуваної при шліфуванні, залежить від жорсткості кріплення інструменту й деталі, а також режимів обробки, через те, що у динамічній системі при різанні неминуче виникають вібрації, що вимагає додаткового дослідження .Для цього розроблено удосконалену стохастичну модель, яка дозволяє досліджувати динаміку процесу шліфування та формування топографії оброблюваної поверхні виробів. У моделі процес обробки зображується як мікрорізання абразивними зернами, що випадковим чином розподілені по поверхні шліфувального круга. Геометричні параметри зерен також мають випадковий характер. У результаті моделювання отримані текстури поверхні після обробки, розподіл сил різання, динамічних відхилень інструменту. Побудовано їх спектральні характеристики, що дозволили оцінити вплив режимів обробки й параметрів технологічної системи на характер вібрацій. Показано, що в системі збуджуються вібрації як на частотах зовнішнього збудження (частота проходження зерен), так i на частотах власних коливань пружної динамічної системи, характерних для регенеративного джерела збудження. Встановлено, що при малій жорсткості технологічної системи збуджуються автоколивання типу «chatter» з великою амплітудою за рахунок механізму регенеративного збудження від зерна до зерна на частотах кратних власним частотам коливань, що призводять до втрати якості обробки і посилення зносу інструменту. Перевірка адекватності побудованої моделі проводилась порівнянням результатів моделювання з результатами експериментів. Для цього розглядалася обробка плоскої поверхні матеріалу деталі зі зносостійким покриттям шліфувальним кругом. Вигляд поверхні після проходження інструменту, одержаний за допомогою удосконаленої моделі, а також остаточний мікрорельєф поверхні після шліфування свідчать про ефективність побудованої моделі та її здатність для забезпечення необхідної топографії оброблюваних поверхонь виробів.
МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОПТИМАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ СИЛОВИМИ АГРЕГАТАМИ СУДНОВОГО КОМПЛЕКСУ НА НЕСТАЦІОНАРНИХ РЕЖИМАХ
Дослідження основних динамічних характеристик енергетичних комплексів суднових систем в усталеному режимі при дії вимушених коливань є актуальними. Особливо це підтверджується створенням керуючих систем для суднових силових установок. У статті авторами розроблена математична модель динаміки суднового комплексу з урахуванням перехідних процесів і знайдений контроль, що забезпечує його рух з максимальною середньою швидкістю і мінімальною витратою палива на одиницю шляху. Розглянуто диференціальні рівняння руху комплексу корабля в безрозмірному вигляді в нестаціонарних умовах. Для оптимального управління цим об’єктом був розроблений критерій оптимальності, який пов'язаний функціональними зв'язками зі характеристиками суднового комплексу і з яким досягається оптимум. Завдання оптимального управління були поставлені і вирішені, щоб знайти управління, яке забезпечує рух судового комплексу з максимальною середньою швидкістю зі диференціальними зв'язками і граничними умовами, і управління, що забезпечує мінімальний середній витрата палива на одиницю шляху суднового комплексу, при заданій середній швидкості його руху. Встановлено, що значення основних характеристик силових установок суднового комплексу істотно залежать від усіх параметрів системи, тому для моделювання вводяться функції характеристики яких апроксимуються. Оскільки отриманий закон управління дійсний для будь-яких функцій, які мають обурююче походження, система автоматичного управління з характеристикою регулятора швидкості в провідному ланці підтримує режим, близький до оптимального, під дією довільних сил, що обурюють, в тому числі неперіодичних. Дослідження, проведені для суднових комплексів, показали, що величина приросту швидкості судна в нестаціонарних умовах зміни параметрів досягає 8%. Ступінь контролю залежить від всіх параметрів, що характеризують корабельний комплекс і стан моря. Отримані співвідношення при моделюванні і оптимальне управління енергоблоками суднових комплексів дозволили проаналізувати витрату палива на одиницю шляху з оптимальним керуванням методом динамічного програмування в порівнянні з відповідним постійним управлінням.
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ СУБСТИТУТ-БАЗИСИ СКІНЧЕННОГО ЕЛЕМЕНТА Q8
У роботі наведено приклади нових моделей тригонометричних базисів, які поставлено на заміну (substitute) поліноміальним базисам (стандартному та альтернативним) популярного елемента Q8. На перших етапах розвитку метода скінченних елементів (МСЕ) вважалось, що головна перевага методу – поліноміальна інтерполяція. Поліноми Лагранжа у ролі базисів та алгебраїчний трикутник Паскаля забезпечили стрімке поширення МСЕ і зростання його популярності. Розвиток комп’ютерних технологій систематично і впевнено змінює ставлення зацікавлених фахівців до задач конструювання базисних функцій. Сьогодні розробники пакетів прикладних програм все частіше звертають увагу на раціональні функції і навіть функції більш загальних класів. Оригінальні базиси скінченних елементів на основі тригонометричних функцій ілюструють «м’яке» математичне моделювання (за терміном В. Арнольда). У конструктивній теорії серендипових апроксимацій тригонометричні функції ще не використовували. Скінченний елемент Q8 широко розповсюджений в МСЕ і успішно працює в ансамблі з трикутним елементом Т6 і квадратом Q9. Специфіка тригонометричних функцій змушує відмовитись від традиційного методу оберненої матриці. Для «проміжних» локальних функцій Q8 ми використовуємо коноїди Каталана, а «кутові» функції конструюємо нематричним методом Р. Тейлора. Відсутність прикладів тригонометричного моделювання базисних функцій гальмує розвиток цього напрямку досліджень. Добре відома лише одна функція базису Q9 – «дута» мода О. Зенкевича (1971 р.), яку він сконструював із фрагментів функції косинус. В роботі запропоновані «рецепти» усунення фізичної неадекватності спектра вузлових навантажень («парадокс» Зенкевича). Отримані результати і конкретні приклади підтверджують думку, що фінітні інтерполяційні функції можуть бути неполіноміальними. Застосування тригонометричних функцій відкриває нові можливості для усунення від’ємних вузлових навантажень.