ЗВ’ЯЗОК МІЖ ФАКТОРИЗАЦІЯМИ СИНГУЛЯРНИХ І РЕГУЛЯРНИХ СИМЕТРИЧНИХ МАТРИЦЬ НАД КІЛЬЦЯМИ ПОЛІНОМІВ З ІНВОЛЮЦІЄЮ

Марія Іванівна Кучма

Анотація


Встановлено необхідні і достатні умови існування факторизацій A(x) = B(x)C(x)B(x)Ñ сингулярних симетричних матриць A(x) із сингулярним множником B(x) заданої форми Сміта і заданою системою нескінченних елементарних дільників над кільцем поліномів з інволюцією. Ці умови отримано з врахуванням обмежень на степені співмножників як недопустимої, так і допустимої факторизацій. Для кожного фіксованого розкладу форми Сміта симетричної матриці показано, що допустима факторизація єдина. Описано вигляд симетричної матриці C(x) у формулі факторизації при кожній із можливих інволюцій у кільці поліномів. Знайдено необхідні і достатні умови існування факторизацій симетричних оборотних матриць над кільцем поліномів з інволюцією. Ці умови отримано з врахуванням обмежень на степені співмножників факторизації з використанням зворотного матричного полінома, і без обмежень на степені співмножників за допомогою узагальненого зворотного матричного полінома. Досліджено зв’язок між факторизаціями сингулярних і регулярних симетричних матриць із сингулярним та регулярним множниками заданої форми Сміта і заданою системою нескінченних елементарних дільників над кільцем поліномів з інволюцією. Цей зв’язок побудовано в термінах нескінченних елементарних дільників, зворотного та узагальненого зворотного матричних поліномів, і реалізовано через алгоритм факторизацій відповідних регулярних симетричних матриць із регулярним множником заданої форми Сміта. Наведено приклади факторизацій сингулярних симетричних матриць і факторизацій симетричних оборотних матриць над кільцем поліномів з інволюцією.

 Ключові слова: симетричний матричний поліном, сингулярний і регулярний (унітальний) матричні поліноми, форма Сміта, нескінченні елементарні дільники, зворотний і узагальнений зворотний матричні поліноми, допустима факторизація, недопустима факторизація.


Повний текст:

PDF

Посилання


Балабанов А. Е. Факторизация матричных полиномов с ограничением на степени // Автоматика и

телемеханика, 1997. № 5. С. 86–100.

Веселов А. П. Интегруемые лагранжевы соответствия и факторизация матричных многочленов //

Функ. анализ и его прилож., 1991. № 25. Вып. 2. С. 38–49.

Зеліско В.Р., Кучма М.І. Факторизація симетричних матриць над кільцем многочленів з інволюцією // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1997. Т. 40. № 4. С. 91–95.

Зеліско В.Р., Кучма М.І. Факторизації сингулярних симетричних матриць над кільцем многочленів з інволюцією // Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2000. Т. 43. № 2. С. 23–27.

Кучма М.І. Про спеціальні дільники сингулярних матричних многочленів // Мат. студії. 1997. Т. 8. № 2. С. 153–156.

Кучма М.І. Симетрична еквівалентність матричних многочленів і виділення спільного унітального дільника із матричних многочленів. // Укр. матем. журн. – 2001. Т. 53. № 2. – С. 211-

Казімірський П.С. Розклад матричних многочленів на множники – Київ: Наук. думка, 1981. 224 с.

Казимирский П.С., Щедрик В.П. О решениях матричных многочленных односторонних уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 271–274.

Любачевский Б.Д. Факторизация симметрических матриц с элементами из кольца с инволюцией. // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. № 2. С. 337–356.

Якубович В.А. Факторизация симметрических матричных многочленов // Докл. АН СССР. – 1970. Т. 194. № 3. С. 532–535.

Callier F. On polynomial matrix spectral factorization by symmetric extraction // IEEE Trans. Automat. Control. 1985. V.AC-30. № 2. P. 453-464.

Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Matrix Polynomials. Academic Press, New York-London 1982.

Kuchma M.I. Factorizations of Invertible Symmetric Matrices over Polynomial Rings with Involution// Global Journal of Pure and Applied Mathematics. 2017. V. 13, № 10. p. 7073-7080.

Kwakernaak H., Sebek M. Polynomial J–spectral factorization // IEEE Trans. Automat. Control. 1994. V.AC-39. № 2. P. 315-328.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.