ЗАГАЛЬНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ ПОЗДОВЖНІХ КОЛИВАНЬ СТРИЖНЯ

Анотація

Моделювання коливних процесів пов’язане з диференціальними рівняннями другого порядку в частинних похідних (загальні крайові задачі). Поздовжні коливання стрижнів є коливними процесами для вивчення яких застосовуються дискретно-неперервні математичні моделі, основою яких є загальні крайові задачі. Методи розв’язування нестаціонарних крайових задач можна поділити на прямі, основу яких становить метод відокремлення змінних, метод джерел (метод функції Ґріна), метод інтегральних перетворень, наближені та числові методи.

У багатьох випадках отримати розв’язки таких задач в замкнутому вигляді викликає великі труднощі. Уникнути труднощів можна зведенням вказаних задач до квазідиференціальних рівнянь, аналітичні розв’язки яких порівняно легше можна отримати із застосуванням матричного числення. Обґрунтування існування та побудова точних аналітичних розв’язків квазідиференціальних рівнянь, розробка програм для наближених обчислень власних значень та власних функцій є актуальними завданнями.

Запропонована в даній роботі схема побудови розв’язку належить до прямих методів розв’язування крайових задач. В роботі розглянуто загальні крайові задачі для поздовжніх коливань стрижня, який складається з двох частин кусково-сталого перерізу та навантаженням в правій частині. Розглянуто п’ять різних випадків крайових умов. Знайдено розв’язки таких задач з використанням концепції квазіпохідних, сучасної теорії систем лінійних диференціальних рівнянь, класичного методу Фур’є та методу редукції. Концепція квазіпохідних дозволяє обходити проблему множення узагальнених функцій, які виникають в правій частинні рівняння залежно від виду навантаження.

За допомогою методу редукції розв’язування задачі зводиться до знаходження розв’язків двох задач. Одна задача є стаціонарною неоднорідною крайовою задачею з вихідними крайовими умовами. Друга задача є мішаною задачею з нульовими крайовими умовами для певного неоднорідного рівняння. Проміжок інтегрування розбивається на відрізки. Задачі розглядаються на кожному відрізку розбиття, а потім за допомогою матричного числення записується аналітичний вираз розв’язку. Такий підхід дозволяє застосовувати програмні засоби до процесу розв’язування задачі, зокрема для знаходження власних значень та власних функцій.