НАБЛИЖЕННЯ РОЗРИВНОЇ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ РОЗРИВНИМИ ІНТЕРЛІНАЦІЙНИМИ СПЛАЙНАМИ З ВИКОРИСТАННЯМ ТРИКУТНИХ ЕЛЕМЕНТІВ
Анотація
Робота присвячена розробці методу наближення розривних функцій за допомогою оператора інтерлінації функцій двох змінних. Ці оператори відновлюють функції (можливо, наближено) за відомими їх слідами на заданій системі ліній. Саме такі експериментальні дані використовуються в дистанційних методах, зокрема в комп’ютерній томографії. Тобто вони надають можливість будувати оператори, інтеграли від яких по вказаних лініях (лінійні інтеграли) будуть дорівнювати інтегралам від самої відновлюваної функції. Отже, інтерлінація – математичний апарат, природно пов’язаний із задачею відновлення характеристик об’єктів за їх відомими проекціями.
Існує багато практично важливих наукових та технічних галузей, в яких об’єкти дослідження математично описуються величинами, що зазнають розрив. Такі об’єкти часто виникають також і в задачах, які використовують дистанційні методи. На сьогоднішній день не існує загальної теорії описів явищ та процесів, що описуються розривними функціями. В статті будуються та досліджуються оператори розривної інтерлінації для наближення розривних функцій двох змінних за відомими її слідами (проекціями) на системі ліній з використанням довільних трикутних елементів. На основі створених сплайн-інтерлінантів будується метод наближення функцій, які мають розриви першого роду та область визначення яких розбивається на трикутні елементи. Причому побудовані розривні конструкції включають в себе, як окремий випадок, класичні неперервні інтерлінаційні сплани. В якості експериментальних даних виступають односторонні сліди функції на системі заданих ліній, саме такі дані використовуються в томографії. В роботі наведені теореми про інтерлінаційні властивості та похибку побудованих розривних конструкцій. Побудований метод наближення дозволяє наблизити розривну функцію, уникаючи явища Гіббса. Розглянуто приклади, які підтверджують ефективність запропонованого методу. Запропонований метод наближення розривних функцій можна буде використати для математичного моделювання розривних процесів в медичних, геологічних, космічних та інших дослідженнях.Ключові слова
Повний текст:
PDFПосилання
Radon J. Über die Bestimmung von Functionen durch ihre Integralverte Längs gewisser Manningfaltigkeiten. Ber. Verh. Sächs. Acad. Wiss. Leipzig Math. Nat. Kl. 1917. Vol. 69. Р. 262–277.
Lombardini R., Acevedo R., . Kuczala A, Keys K. P., Goodrich C. P. Higher-Order Wavelet Reconstruction/Differentiation Filters and Gibbs Phenomena. Journal of Computational Physics. 2016. № 15. Р. 244262.
Suresh V., Koteswarao Rao S., Thiagarajan G., Das R.P. Denoising and Detecting Discontinuities Using Wavelets. Indian Journal of Science and Technology. 2016. № 9(19). P. 1–4.
Faridani A., Finch D. V., Ritman E. L., SmithK. T. Local Tomography. II. SIAM J. Appl. Math. 1997. Vol. 57 (4). P. 1095–1127.
Ramachandran G. N., Lakshminarayanan A. V. Three-Dimensional Reconstruction from Radiograph and Electron Micrographs: Application of Convolutions Instead of Fourier Transforms. Proc. Nat. Acad. Sci. US. 1971. № 68. P. 2236–2240.
Rossini M. Detecting Discontinuities in Two-Dimensional Signals Sampled on a Grid. Journal of Numerical Analysis, Industrial and Apply Mathematics. 2007. Vol. 1. № 1. P. 1–13.
Агеев А. Л., Антонова Т. В. Дискретный алгоритм локализации линий разрыва функции двух переменных. Сиб. журн. индустр. матем. 2017. Т. 20. № 4. С. 3–12.
Литвин О. М., Першина Ю. І. Математичне моделювання в комп’ютерній томографії з використанням мішаної апроксимації. Теорія та методи обробки сигналів: матеріали другої міжнародної конференції. (Київ, травень 21-22, 2008). Київ: НАУ, 2008. С. 85–86.
Сергієнко І. В., Задірака В. К., Литвин О. М., Першина Ю. І. Теорія розривних сплайнів та її застосування в комп’ютерній томографії: К.: Наук. думка, 2017. 314 с.
Литвин О. М., Першина Ю. І., Сергієнко І. В. Восстановление разрывных функций двух переменных, когда линии разрыва неизвестны (прямоугольные элементы). Кибернетика и системный анализ. 2014. № 4. С. 126-134.
Литвин О. М., Першина Ю. І. Наближення розривних функцій двох змінних розривними сплайн-інтерлінантами з використанням трапецевидних елементів. Таврійський вісник інформатики та математики. 2011. № 2. С.59-70.
Radon, J. (1917). Über die Bestimmung von Functionen durch ihre Integralverte Längs gewisser Manningfaltigkeiten. Ber. Verh. Sächs. Acad. Wiss. Leipzig Math. Nat. Kl. 69, 262–277.
Lombardini, R., Acevedo, R., Kuczala, A., Keys, K. P, & Goodrich, C.P. (2016). Higher-order Wavelet Reconstruction/Differentiation Filters and Gibbs Phenomena. Journal of Computational Physics. 15, 244–262.
Suresh, V., Koteswarao, Rao S., Thiagarajan, G., & Das, R. P. (2016). Denoising and Detecting Discontinuities Using Wavelets. Indian Journal of Science and Technology. 9(19), 1–4.
Faridani, A., Finch, D. V., Ritman, E. L., & Smith, K. T. (1997). Local tomography. II. SIAM J. Appl. Math. 57 (4), 1095–1127.
Ramachandran, G. N., & Lakshminarayanan, A. V. (1971). Three-Dimensional Reconstruction from Radiograph and Electron Micrographs: Application of Convolutions Instead of Fourier Transforms. Proc. Nat. Acad. Sci. US. 68, 2236–2240.
Rossini, M. (2007). Detecting Discontinuities in Two-Dimensional Signals Sampled on a Grid. Journal of Numerical Analysis, Industrial and Apply Mathematics. 1, 1, 1–13.
Ageev, A. L., & Antonova, T. V. (2017). Diskretnyiy algoritm lokalizatsii liniy razryiva funktsii dvuh peremennyih. Sib. zhurn. industr. matem. 20. 4, 3–12.
Lytvyn, O.M., Pershyna, Yu.I. (2008) Matematychne modeliuvannia v kompiuternii tomohrafii z vykorystanniam mishanoi aproksymatsii. Proceedings of the Teoriia ta metody obrobky syhnaliv: Materialy druhoi mizhnarodnoi konferentsii. (Kyiv, May 21-22, 2008), Kyiv: NAU, pp. 85–86.
Serhiienko, I. V., Zadiraka, V. K., Lytvyn, O. M., & Pershyna, Yu. I. (2017). Teoriia rozryvnykh splainiv ta yii zastosuvannia v kompiuternii tomohrafii: K. : Nauk. Dumka.
Litvin, O. M., Pershina, Yu. I., & Sergienko, I. V. (2014). Vosstanovlenie razryivnyih funktsiy dvuh peremennyih, kogda linii razryiva neizvestnyi (pryamougolnyie elementyi). Kibernetika i sistemnyiy analiz. 4, 126-134.
Lytvyn, O. M., Pershyna, Yu. I. (2011). Nablyzhennia rozryvnykh funktsii dvokh zminnykh rozryvnymy splain-interlinantamy z vykorystanniam trapetsevydnykh elementiv. Tavriiskyi visnyk informatyky ta matematyky. 2, 59-70.
DOI: https://doi.org/10.32782/2618-0340/2020.1-3.16
Посилання
- Поки немає зовнішніх посилань.
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License